Section torique

En géométrie, une section torique (ou spirique plane ou section annulaire) est une courbe plane, qu'on peut définir comme l'intersection d'un plan avec un tore, tout comme une section conique est l'intersection d'un plan avec un cône. Des cas particuliers sont connus depuis l'Antiquité, et le cas général a été étudié par Gaston Darboux^[1].

Formules mathématiques

En généralité, les sections toriques sont des courbes planes du quatrième ordre (quartique) de la forme (réduite)

\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0

.

On se place dans le cas où le tore est centré à l'origine $O$ et d'axe de rotation l'axe $O z$ , de rayons majeur et mineur $a$ et $b$ , coupé par le plan situé à une distance $d$ de $O$ , faisant un angle avec le plan horizontal $xOy$ parallèlement à l'axe $Ox$ , soit d'équation $z=\tan(\alpha )(y-d)$ .

Alors une représentation paramétrique cartésienne de la section torique sur le plan de coupe est :

\forall t\in \mathbb {R} ,\ {\begin{cases}x&=\pm {\sqrt {\left(a+b\cos(t)\right)^{2}-\left(d+b{\dfrac {\sin(t)}{\sin(\alpha )}}\right)^{2}}}\\y&=b{\dfrac {\sin(t)}{\sin(\alpha )}}\\\end{cases}}

.

Spiriques

Un cas particulier de section torique est donné par les spiriques de Persée, pour lesquelles le plan d'intersection est parallèle à l'axe de rotation du tore. Elles ont été découvertes par l'antique géomètre grec Persée vers 150 av. J.-C.^[2]. Des exemples bien connus incluent l'hippopède et les ovales de Cassini et des courbes similaires, comme la lemniscate de Bernoulli.

Cercles de Villarceau

Un autre cas particulier est celui des cercles de Villarceau, sections toriques circulaires cercle malgré l'absence de tout type évident de symétrie qui impliquerait une section circulaire^[3].

Sections toriques générales

Des figures plus compliquées telles qu'une couronne peuvent être obtenues selon que le plan d'intersection est perpendiculaire ou oblique à l'axe de symétrie de rotation.

Voir aussi

Courbe d'intersection

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Toric section » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Antoni Sym, « Darboux's greatest love », Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, vol. 42, n^o 40,‎ 2009, p. 404001 (DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001).
↑ (en) Egbert Brieskorn et Horst Knörrer, Plane algebraic curves, Bâle, Birkhäuser Verlag, 1986, 2–65 p. (ISBN 3-7643-1769-8, DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1, MR 886476), « Origin and generation of curves ».
↑ (en) I. J. Schoenberg, « A direct approach to the Villarceau circles of a torus », Simon Stevin, vol. 59, n^o 4,‎ 1985, p. 365–372 (MR 840858).

Liens externes

(en) The toric section: intersection of a torus with a plane sur "Worlds of math & physics"
(en) Eric W. Weisstein, « Toric Section », sur MathWorld
Spirique plane sur mathcurve

Portail de la géométrie

[sym-1] (en) Antoni Sym, « Darboux's greatest love », Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, vol. 42, n^o 40,‎ 2009, p. 404001 (DOI 10.1088/1751-8113/42/40/404001).

[2] (en) Egbert Brieskorn et Horst Knörrer, Plane algebraic curves, Bâle, Birkhäuser Verlag, 1986, 2–65 p. (ISBN 3-7643-1769-8, DOI 10.1007/978-3-0348-5097-1, MR 886476), « Origin and generation of curves ».

[3] (en) I. J. Schoenberg, « A direct approach to the Villarceau circles of a torus », Simon Stevin, vol. 59, n^o 4,‎ 1985, p. 365–372 (MR 840858).

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